鸡爪定理是几年级学的，

学习资料丨五年级数学上册知识要点汇总

之一单元 小数乘法

1、小数乘整数：意义——求几个相同加数的和的简便运算。如：1.5×3表示1.5的3倍是多少或3个1.5是多少。

计算 *** ：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。

2、小数乘小数：意义——就是求这个数的几分之几是多少。如：1.5×0.8（整数部分是0）就是求1.5的十分之八是多少。 1.5×1.8（整数部分不是0）就是求1.5的1.8倍是多少。

计算 *** ：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。

注意：计算结果中，小数部分末尾的0要去掉，把小数化简；小数部分位数不够时，要用0占位。

3、规律：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大； 一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。

4、求近似数的 *** 一般有三种：

⑴四舍五入法；⑵进一法；⑶去尾法

5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分。保留一位小数，表示计算到角。

6、小数四则运算顺序跟整数是一样的。

7、运算定律和 *** 质：

（1）加法：

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

（2）乘法：

乘法交换律：a×b=b×a

乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c或a×c+b×c=(a+b)×c（b=1时，省略b）

变式：(a-b)×c=a×c-b×c或a×c-b×c=(a-b)×c

（3）减法：减法 *** 质：a-b-c=a-(b+c)

（4）除法：除法 *** 质：a÷b÷c=a÷(b×c)

第二单元 位置

8、确定物体的位置，要用到数对（先列：即竖，后行即横排）。用数对要能解决两个问题：一是给出一对数对，要能在坐标途中标出物体所在位置的点。二是给出坐标中的一个点，要能用数对表示。

第三单元 小数除法

10、小数除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。如：0.6÷0.3表示已知两个因数的积0.6，一个因数是0.3，求另一个因数是多少。

11、小数除以整数的计算 *** ：小数除以整数，按整数除法的 *** 去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。整数部分不够除，商0，点上小数点。如果有余数，要添0再除。

12、除数是小数的除法的计算 *** ：先将除数和被除数扩大相同的倍数，使除数变成整数，再按“除数是整数的小数除法”的法则进行计算。

注意：如果被除数的位数不够，在被除数的末尾用0补足。

13、在实际应用中，小数除法所得的商也可以根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数，求出商的近似数。

14、除法中的变化规律：①商不变 *** 质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。②除数不变，被除数扩大（缩小），商随着扩大（缩小）。③被除数不变，除数缩小，商反而扩大；被除数不变，除数扩大，商反而缩小。

15、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。如6.3232……的循环节是32.简写作6.32。

16、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。小数分为有限小数和无限小数。

第四单元 可能 ***

17、事件发生有三种情况：可能发生、不可能发生、一定发生。

18、可能发生的事件，可能 *** 大小。把几种可能的情况的份数相加做分母，单一的这种可能 *** 做分子，就可求出相应事件发生可能 *** 大小。

第五单元 简易方程

19、在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。加号、减号除号以及数与数之间的乘号不能省略。

20、a×a可以写作a·a或a ，a 读作a的平方 2a表示a+a

特别地1a=a这里的：“1“我们不写。

21、方程：含有未知数的等式称为方程（★方程必须满足的条件：必须是等式 必须有未知数两者缺一不可）。使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。

22、解方程原理：天平平衡。等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。

23、10个数量关系式：

（1）加法：和=加数+加数

一个加数=和-另一个加数

（2）减法：差=被减数-减数

被减数=差+减数 减数=被减数-差

（3）乘法：积=因数×因数

一个因数=积÷另一个因数

（4）除法：商=被除数÷除数

被除数=商×除数 除数=被除数÷商

24、所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程。

25、方程的检验过程：方程左边=…… 26、方程的解是一个数；解方程式一个计算过程。=方程右边 所以，X=…是方程的解。

第六单元 多边形的面积

27、公式： 正方形

正方形的面积=边长X边长 S正=aXa=a2

长方形

长方形的面积=长X宽

S长=aXb

平行四边形

平行四边形的面积=底X高

S平=aXh

已知：平行四边形的面积和底，求高 h=S平÷a

三角形

三角形的面积=底X宽高÷2

S三=aXh÷2

已知：三角形的面积和底，求高

H=S三X2÷a

梯形

梯形形的面积=（上底+下底）X高÷2

S梯=（a+b）xH÷2

已知：梯形的面积与上下底之和，求高

高=面积×2÷（上底+下底）

上底=面积×2÷高－下底

组合图形

当组合图形是凸出的，用两种或三种简单图形面积相加进行计算。

当组合图形是凹陷的，用一种更大的简单图形面积减较小的简单图形面积进行计算。

28、平行四边形面积公式推导：剪拼、平移

平行四边形可以转化成一个长方形；

长方形的长相当于平行四边形的底；

长方形的宽相当于平行四边形的高；

长方形的面积等于平行四边形的面积，

因为长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。

29、三角形面积公式推导：旋转

两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于三角形的底；平行四边形的高相当于三角形的高；

平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷2。

30、梯形面积公式推导：旋转

31、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。平行四边形的底相当于梯形的上下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=(上底+下底)×高÷2。

32、等底等高的平行四边形面积相等；等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。

33、长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小。

34、组合图形面积计算：必须转化成已学的简单图形。

当组合图形是凸出的，用虚线分割成几种简单图形，把简单图形面积相加计算。

当组合图形是凹陷的，用虚线补齐成一种更大的简单图形，用更大简单图形面积减几个较小的简单图形面积进行计算。

第七单元 植树问题

35、不封闭栽树问题：

（1）一条路的一边两端都栽树=路长÷间隔+1；

已知间隔数，树的棵树，求路长。路长=间隔数×（树的棵树-1）

（2）一条路的两边两端都栽树=（路长÷间隔+1）×2

（3）一条路的一边两端不栽树=路长÷间隔-1

（4）一条路的两边两端不栽树=（路长÷间隔-1）×2

（5）锯木头时间问题：锯一段木头时间=总时间÷（段数-1）

36、封闭图形四周栽树问题：栽树棵树=周长÷间隔

37、鸡兔同笼问题：(龟鹤问题、大船小船问题）

（1）算术假设法1：假设几只都是兔子，（都是脚多的兔子），先求鸡的只数。

鸡的只数：（总头数×4-总脚数）÷（4-2即一只兔的脚数减去一只鸡的脚数）。

兔的只数：总头数-鸡的只数。

算术假设法2：假设几只都 *** ，（都是脚少的鸡），先求兔子的只数。

兔子的只数：（总脚数-总头数×2）÷（4-2即一只兔的脚数减去一只鸡的脚数）。

鸡的只数：总头数-兔子的只数。

（2）方程法：设兔子有x只，则兔子脚有2x只。那么鸡有（总头数-x)只，根据“兔子脚+鸡脚=总脚数”列方程解答先求兔子只数，再算出鸡的只数。

即：4x+2×（总头数-x）=总脚数

以上内容欢迎点赞转发收藏，以免需要用到时候能够快速找到！

一道我们容易忽视且不注意的题！

开篇语

即便我们学过数学定理

我们依然不会证明解题

恰比如，我们知道很多人生道理

却依然过不好这一生

正态分布告诉我们

97%的人处于正常状态

只有3%的人异于常人，甚至更少

或许这也是我们无论多努力

都很难达到超高水准

教书人，把题讲清楚

一道几何母题

*** 提供这样的解答

这是一位同学的解法，勾股解法

这是另一位同学的解法，同样是勾股解法

我的确教过角度，到边的解法

只是说：勾股 *** 是我们最后一道防线

我给出了全等+角度到边的求法

我相信30度角的价值，是边的关系

非勾股方程

一道母题就此出现

只要是30度角，并且有AD=AB=BC

那么就会有固定结构

与角BAC的大小关联不大

一道我们忽视且不注意的题

内心，外心，垂直，边长关系

我们似乎找不到关联点

如果我们知道内心，外心和鸡爪定理

那么我们会把相关辅助线做好

小学数学应用题解题思路+公式，快拿给孩子看

《中考数学120解题模型三剑客》部分（四部）作品目录

一、梳理整合模型的进阶之剑目录（括弧中为 *** 集数）

●模块01：角的存在 *** 处理策略( *** 10集，下同)

●模块02：边对角问题处理策略（6集）

●模块03：几何中的“三套马车”与“旋转 *** ”及“鸡爪图”处理策略（18集）

●模块04：初中几何中的“十字架”（7集）

●模块05：等腰、直角三角形存在 *** 处理策略（21集）

●模块06：相似模型及相似三角形存在 *** 处理策略(14集)

●模块07：平行四边形（菱、矩、正方形）存在 *** 处理策略(15集)

●模块08：巧施绝对值处理策略优化解题过程（3集）

●模块09：中点处理策略（8集）

●模块10：角平分线处理策略(7集)

●模块11：垂直处理策略（5集）

●模块12；面积、旋转、平移、线段及最值处理策略（9集）

●模块13：角度及倍半角处理及相关圆的计算与证明专题（14集）

●模块14：有关的动点的临界点处理策略(3集+1)

●模块15：折叠专题(4集+5)

●模块16：隐圆与最值处理策略（6集）

●模块17；最值问题之将军饮马那点事（6集）

●模块18：最值问题之胡不归模型（4集）

●模块19：最值问题中的阿氏圆模型（3集）

●模块20：路径问题之瓜豆原理（4集）

●模块21：几何探究类问题中常用的解题模型和基本功训练题（7集）

二、最新作品破冰之剑，供初一、初二年级同步培优拔高使用

■建议七年级（上）学习

●丰富的图形世界@立体图形

●有理数@数轴

●有理数@绝对值@数形结合

●有理数@运算

●整式的加减@运算

●整式的加减@规律探究

●几何图形初步@线段的计算

●几何图形初步@与线段有关的动点问题

●几何图形初步@角的计算

●几何图形初步@动角问题

●一元一次方程@解方程

●一元一次方程@应用

●数轴压轴题

●角的综合题

●线段中双中点，角内双角平分线模型）

●猪蹄、铅笔、锯齿模型

● *** 、老鹰抓小鸡

■建议七年级（下）学习

●整式的乘除@运算法则

●整式的乘除@平方差公式

●整式的乘除@完全平方公式

●相交线

●平行线间的拐点问题

●平行线的综合应用

●分析、判断图像

●三角形三边的关系

●全等三角形辅助线的做法

●全等三角形模型演绎

●等腰三角形

●线段垂直平分线与角平分线

●对称在最值中的应用

●平行线 *** 质及判断的综合应用

●全等三角形综合题

●三角形双角平分线三大模型

●面积模型（一）

■建议八年级（上）学习

●勾股定理@证明与计算

●勾股定理@定理及逆定理的应用

●二次根式

●平面直角坐标系

●函数@分析判断函数图像

●函数@与函数图像有关的计算

●一次函数的图像与 *** 质

●一次函数与几何综合

●二元一次方程组@解方程

●二元一次方程组@应用

●一元一次方程@解方程

●数据的分析

●平行线的 *** 质与判断

●三角形边角关系

●三角形边角关系

●三角形综合题

●函数与图象

●一次函数综合题

●平行线的 *** 质与判定综合题

■建议八年级（下）学习

●等腰三角形@ *** 质

●等腰三角形@判断

●等腰三角形@全等

●角平分线问题

●一元一次不等式（组）

●一元一次不等式@一次函数

●一元一次不等式@实际应用

●不定方程的应用

●手拉手模型

●对角互补@半角模型

●因式分解@技巧

●因式分解@应用

●分式@化解技巧

●分式@求值技巧

●分式@方程及应用

●平行四边形的 *** 质与判定

●实际应用题@综合题

●特殊三角形@综合题

●平行四边形综合题

■八年级升九年级拓展（一）

●平面直角坐标系中的勾股定理

●点到直线的三个距离@铅垂线法求面积

●矩形 *** 与直角、等腰三角形存的在 ***

●一次函数中K的颜值

●反比例函数中K的几何意义

●方、不、函应用题 *** 策略

●将军饮马模型演绎

●二次三项式与配 *** 求最值

●八字、 *** 、猪脚模型

●中点模型

●角平分线模型

●截长补短法

●面积模型（二）

●取特值（特殊位置）解决特殊问题

■八年级升九年级拓展（二）

●特殊的平行四边形

●相似模型俱乐部

●旋转 *** 与几何中的三套马车

●各种四边形的存在 *** 问题

●反射与角平分线模型@翻折

●双勾股模型

●十字架模型

●初二须掌握的其它最值模型

●三垂直全等模型

●全等三角形存在 *** 问题

●相似三角形存在 *** 问题

●45°角处理策略与虚拟坐标法

●图形的平移、旋转、对称小结

●蚂蚁行程模型

三、模型导学的强基之剑目录

●等角套

●鸡爪图（旋转 *** ）

●内含半角模型（截长补短+旋转 *** ）

●将军饮马（牛喝水）——两村一路问题及拓展

● 妙趣横生的“十字架”（四边形+三角形）

●中点处理策略 —— 五大模型

●角平分线处理策略（双垂、单垂、双等、与平行等腰叠加）

●相似模型俱乐部

●倍半角处理策略

●三角比与解三角形及应用模型（确定即可求的理念进一步深化）

●一次函数中K的颜值及其妙用

●二次函数常用二级结论及解题套路

●反比例函数中的几何模型及二级结论

●完美无缺的圆（圆中的模型）

●妙不可言、威力无穷的12345模型

●“魔 *** 模型”——婆罗摩笈定理及模型

●方、不、函综合应用题解题策略

●数与代数中的二级结论

●正方体展开模型识记

●方程与不等式重点、难点、易错点处理策略

●瓜豆原理（相似+缩放+旋转的叠加）

●胡不归（斜边打折变对边，正弦助力胡可归）

●更大张角（米勒定理）

●阿氏圆（子母相似邂逅圆创造奇迹）

四、固本之剑目录

■几何最值

●将军饮马（7集 *** 与强基之剑49页及进阶之剑第17模块的6集 *** 配套学习）

◆009-现实版的将军饮马问题演绎一：两村一路建货站——如何最省钱

◆010-现实版的将军饮马问题演绎二：一村两路建货站——如何最合算

◆011-将军饮马模型的变式二：两定两动确定四边形周长的最小值问题

◆012-将军饮马模型拓展三：用控制变量法处理两动一定求最值问题

◆013-将军饮马问题小结及模型拓展四：求线段差更大问题的模型演绎

◆014-将军饮马问题模型拓展五之将军过河问题处理策略及思路拓展演绎

◆015-将军饮马问题模型拓展六之将军遛马路径最短问题处理策略及总结

●胡不归模型（4集 *** 与进阶之剑中的第18模块中的4集 *** 配套学习）

◆016-胡不归模型通关口诀演绎：父点子点加权线，一垂定音胡一线

◆017-胡不归最值模型 *** 秘通关诀演绎及其在特殊四边形中的应用举例

◆018-几何背景下系数大于1的加权线段和如何利用胡不归模型求最值

◆019-二次函数中胡不归模型与虚拟坐标系法、一线三直角、等面积 *** 师

●阿氏圆问题（3集+与进阶之剑模块19中的3集 *** 配套使用）

◆020-角平分线有内外,子母相似来挂帅,合力打造阿氏圆,射影敲定阿一点

◆021-几何中变式的阿氏圆最值问题：加权线段和最小与差更大异曲同工

◆022-真题改编：锁定阿一点—玩转二次函数背景下的阿氏圆最值问题

●构造辅助圆（隐圆—结合进阶之剑模块16中的6集 *** 学习）

◆023-辅助圆最值模型&圆中最值：点圆模型的证明、构造 *** 和应用

◆024-辅助圆最值模型&圆中最值：线圆模型的证明、构造 *** 和应用

◆025-隐圆（辅助圆）最值模型之用定义构造辅助&线圆最值

◆026-隐圆（辅助圆）最值模型之定边对直角构造辅助圆&点圆最值（1）

◆027-隐圆（辅助圆）最值模型之定边对直角构造辅助圆&点圆最值（2）

◆028-定边对定角隐圆最值模型与等边三角形中的十字架 ***

◆029-辅助圆最值模型之隐身的阿氏圆与点圆最值模型的 ***

◆030-隐圆最值模型之隐藏的定边后的定边对直角构造辅助圆（1）

◆031-隐圆最值模型之通过定边对定角构造辅助圆探究动点轨迹长度

◆032-辅助圆最值模型之动静互逆，控制变量，灵活应用点圆最值模型求解

◆033-隐圆最值模型之隐藏的定边后的定边对直角构造辅助圆（2）

●瓜豆原理（最值问题动点轨迹处理策略—结合进阶之剑中模块20中4集 *** ）

◆034-等角套（手拉手）、旋转缩放相似、瓜豆原理强强联手确定动点轨迹

◆035-旋转 *** 与轨迹为圆的瓜豆原理并肩作战秒杀从动点轨迹的确定

◆036-旋转 *** 与轨迹为直线的瓜豆原理并肩作战秒杀从动点轨迹的确定

◆037-模型的魅力，模型的威力：巧用豆原理秒杀两道选择填空小题

◆038-正方形背景下瓜豆原理与点圆最值模型并肩作战秒杀线段最值问题

◆039-控制变量法与瓜豆原理及点圆最值模型三巨头在正方形中的 ***

◆040-坐标系 *** 值定轨和逆推法玩转轨迹为线段的瓜豆原理与点线最值模型

◆041-瓜豆原理中 *** 夹角等于定角的 *** 质巧破正方形背景下点线最值问题

●费马点（6集 *** ）

◆042-费马点的认识、证明、及其相关的结论和最值问题&酷炫的费马点

▲043-三角形背景下费马点最值问题的类比推理题—首战告捷&帅呆的费吗点

◆044-矩形中的费马点处理策略与点线最值问题并肩作战巧解中考真题

◆045-费马点最值问题处理策略在几何类比推理压轴题中的应用和推演

◆046-费马点模型结合“特征线段” *** “加权”的一点三线和的最值问题

◆047-费马点终结篇：加权系数为勾股数的费马点最值问题处理策略

■对称（折叠）与旋转

●对称的 *** 质（玩转折叠之基本技能5集 *** ）

◆048-用三道小题玩转对称与配套条件结合倒角的常见处理策略

◆049-用两道小题演绎对称的对应边相等与配套条件结合锁定解题路线

◆050-用两道小题玩转利用对称轴垂直平分对应点连线的 *** 质解决问题

◆051-几何折叠问题与相似、对补四边形，解三角形的综合应用

◆052-中考数学解题模型之用隐圆与临界点处理策略 *** 一类动态折叠问题

●矩形的折叠（4集 *** 玩转矩形中的折叠）

053-矩形折叠问题之沿对角线折叠及落点在矩形的边上处理策略

054-矩形折叠问题中落点在矩形内部的解三角形、勾股、相似处理策略

055-矩形折叠落点在矩形外和多次折叠问题及矩形折叠基本模型的总结

056-矩形折叠模型与十字架、中点模型、相似及大方程思想并肩作战

●折叠所成特殊图形（2集 *** ）

057-折叠形成的特殊图形——以直角相似为例演绎分类讨论处理策略

058-折叠形成的特殊图形——菱形、折叠与三角函数的 ***

●旋转与手拉手模型（7集 *** ）

059-旋转 *** （一转成双），歪八倒角并肩作战完美解读手拉手模型

060-等腰直角三角形旋转与歪八字的相似巧妙结合定角定边定面积

061-共点等角旋转形成的手拉手模型之双正方形模型 *** 策略

062-旋转缩放相似模型确定边的关系后结合勾股定理列方程求解

063-动态的双等边三角形衍生的等补四边形模型的各种处理策略

0 *** -旋转-手拉手模型与点线最值模型并肩作战 *** 三角形面积最值问

065-旋转、点圆最型、中点、等边三角形四心合一等模型与等面积法同框

●三垂直、一线三等角模型演绎角度的虚拟坐标法处理策略

066-三垂直、一线三直角、一线三等角&虚拟坐标法-角度的两种处理策略

067-菱形折叠与一线三等角相似的识别及相似定边的各种处理策总结

068-两道小题利用一线三直角模型推理演绎直角的处理策略

069-一线三直角模型与三角函数配合演绎特殊到一般：任意角的处理策略

070-识别、构造一线三直角模型秒杀婆罗摩笈多模型的证明思路

071-一线三等角模型&婆罗摩笈多模型以及其类比推理题的基本套路

072-正方形中一线三直角与解三角形，大A相似多种模型配合 *** 几何压轴题

073-一线三等角的拓展——旋转、缩放相似法逆应用—引入相似中心的概念

●等补四边形、旋转与半角模型的渊源

074-等补四边形三兄弟及半角模型—旋转 *** &截长补短&角平分线模型

075-从一般到特殊的演绎法：六零型等补四边形中的重要结论及证明

076-从一般到特殊的演绎法：九零型等补四边形中的重要结论及证明

077-从一般到再特殊的演绎法：正方形中半角模型常见的十二个结论之（一）

078-从一般到再特殊的演绎法：正方形中半角模型常见的十二个结论之（二）

079-从一般到再特殊的演绎法：正方形中半角模型常见的十二个结论之（三）

080-从一般到再特殊的演绎法：正方形中半角模型常见的十二个结论之（四）

081-从一般到再特殊的演绎法：正方形中半角模型常见的十二个结论之（五）

082-从一般到再特殊的演绎法：正方形中半角模型常见的十二个结论之（六）

083-半角模型应用之真题演练-反比例函数中隐藏较深的半角模型

中国人骨子里的盖被子基因，有什么科学依据？

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给家长和 *** 们推荐一下鸡兔同笼公式学会了这个可以解决好多问题

解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）　=鸡的只数

　　总只数－鸡的只数=兔的只数

　　解法2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数

　　总只数－兔的只数=鸡的只数

　　解法3：总脚数÷2—总头数=兔的只数

　　总只数—兔的只数=鸡的只数

　　例1 （古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

　　分析 如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。

　　解：①鸡有多少只？

　　（4×6-128）÷（4-2）

　　=（184-128）÷2

　　=56÷2

　　=28（只）

　　②免有多少只？

　　46-28=18（只）

　　答：鸡有28只，免有18只。

　　我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题 *** 为假设法.概括起来，解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

　　鸡数=（每只兔脚数× 兔总数- 实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）

　　兔数=鸡兔总数-鸡数

　　当然，也可以先假设全 *** 。

　　例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

　　分析 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？

　　假设100只全 *** ，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。

　　解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。

　　100-20=80（只）。

　　答：鸡与兔分别有80只和20只。

鸡爪定理之十

1、已知ABCD为圆O上定点，P是不含CD的弧AB上动点，T、K为△PAD、△PBC内心。

求证：△PTK外接圆过圆Ｏ上定点。

(我们爱几何20170908题 作者：万喜人)

思路分析：

此题显然是第九篇第1题的推广，证明思路可能也是按图索骥，但是此时内心的作用不大了，定点不好确定了。

只能从结果分析，设F、G为弧AD、BC

中点，设定点为Q,类似那题，我们需要△QTF～△QKG,即需要FT/KG=FQ/GQ,即DF/CG=FQ/GQ=定值,而满足条件的Q的轨迹为阿波罗尼斯圆，与弧AB恰有一个交点，此点即为所求定点。

证明：

设F、G为劣弧AD、BC中点，

由鸡爪定理FT=FD,GK=GC,

满足XF/XG=DF/CG的动点X的轨迹为阿波罗尼斯圆，

此圆与劣弧AB的交点唯一，设为Q,

则QF/QG=DF/CG=TF/KG,

又∠PFQ=∠PGQ,

则△QTF～△QKG，

则∠PTQ=∠PKQ,

则PTKQ共圆，

即△PTK外接圆过圆Ｏ上定点Q。

2、已知：E为△ABC外接圆O上BAC弧的中点，D在OE上，△ABD、△ACD内心为X、Y。

求证：X,Y,A,E共圆（2009年frankvisita在东方论坛编的题目）

思路分析：

先从结果分析X,Y,A,E共圆

<=>∠XEY=∠XAY=0.5∠BAC=0.5∠BEC =∠BED

<=>∠XEB=∠YED。

下面分析图形几何 *** 质，几何 *** 质中相似共圆找不到，只能退而求其次，找角度关系，只要得到∠DBX=∠ECY,同理得到其余角相等，在两个三角形中分别利用角元赛瓦定理即可证明。

证明：

∠DBX=0.5∠DBA

=0.5(∠DBE-∠EBA)=0.5(∠DCE-∠ECA)

=0.5(∠DCE+∠ECA)-∠ECA

=0.5∠DCA-∠ECA

=∠YCA-∠ECA=∠ECY;

则∠EBX=∠YCD;

又∠XDY=0.5∠CDB=∠BDE,

则∠BDX=∠EDY,∠EDX=∠CDY;

在△EBD中，由角元赛瓦定理得

则∠XEB=∠YED，∠XEY=∠BED=0.5∠BEC=0.5∠BAC=∠XAY

故X,Y,A,E共圆。

3、已知：△ABC中，AB>AC,M为△ABC外接圆上弧BAC中点，内切圆I切BC于D，DP//AI且P在圆I上，

求证：AP、MI交点在△ABC外接圆上

（2012年中国 *** 数学奥林匹克）

思路分析：

结论不好入手，只能挖掘图形 *** 质，补全图形，由前面结论得到五点IDHJP'共圆即可。

证明：

设MI交圆O于K，设AH与圆I的靠近A的交点为P',由图形的唯一 *** 只需证明DP'//AI.

设NH交BC于J，则∠MHN=90°，故IDHJ四点共圆；

由鸡爪定理得,

则NI为IDHJ外接圆切线，

则∠IHD=∠NID=∠MNI=∠IHA,

又IP'=ID，则IP'HD共圆，则IDHJP'共圆；

则∠NID=∠IP'D=∠IDP',即DP’//AI，则P与P’重合；

即AP、MI交点在△ABC外接圆上成立。

注：

本题是2012年中国 *** 数学奥林匹克压轴题，还是有些难度的。难点在于条件比较分散，不好利用，在充分掌握此构型核心 *** 质的基础上，延长NH交BC交于J，利用鸡爪定理把结果转化为五点共圆，就离证明正确结果不远了，当然还要在图形中合理取舍，尽可能言简意赅，最后选择了同一法，当然大家还可以考虑其他的证明 *** 。

4、已知：AB>AC,O、I、H分别为△ABC外心、内心、垂心，ID⊥BC于D，

延长AH交圆O于E，AO//DH,K为CI中点。

求证：OIKE共圆。

思路分析：

本题条件有些“奇怪”，必然是从分析图形特征入手，不难得到ODE共线，猜测IO//BC，则为第五篇第2题变形，下面关键在于如何使用ODE共线证明IO//BC，尝试那题的三种解法，发现最后还是类似上题转化为基本构型，得到A *** 共线进而IDESJ共圆解决本题。

证明：

设LF为垂直于BC的直径，LD交圆O于J，LE交BC于S，

由H为垂心得∠BHE=∠ACB=∠AEB,则TH=TE;

又AO//DH则∠DEH=∠DHE=∠OAE==∠OEA,故ODE共线；

由鸡爪定理得D *** E共圆，

则∠D *** =∠DEL=∠OEL=∠OLE=180°-∠AEL =180°-∠AJL,故A *** 共线；

由第四篇第5题得∠AJI=90°,

故IDSJ共圆，故IDESJ共圆；

则∠IEL=90°,

由第五篇第2题得∠IOL=90°，

由鸡爪定理LI=LC,

则∠IKL=90°,

故OIKE共圆。

注：

1）本题不是太好入手，难点在于结论隐藏的有些深，条件不好利用。解决本题的关键首先是得到ODE共线，然后猜测OI//BC，证明时尝试第五篇第2题三种 *** 发现只能用鸡爪定理基本构型才能解决。由ODE共线，得到A *** 共线，进一步得到IDESJ共圆，即能解决。不难发现本题和上题有异曲同工之妙，希望读者对照异同。

2）本题选自上海科技出版社田廷彦老师的《数学奥林匹克中的智巧》，第六篇第4题也是选自该书。田老师是国内最顶尖的少壮派几何解题高手，他见多识广，阅题无数，目光敏锐。我拜读过他的书如《面积与面积 *** 》、《三角与几何》、《圆》、《数学奥林匹克中的智巧》、《多功能题典》等，几乎每本书的内容都独树一帜、营养丰富，不过他的书一般题量巨大、难度较高，课后练习题的 *** 都只有简单提示，没有详细解答，题目一般也不注明出处，一般人阅读起来会比较吃力。但是他选的题目都很典型，涵盖全面，几乎每一道题目都值得几何爱好者细细品味，是练功的绝佳材料。而且田老师的计算能力超强，面积法和三角法都颇有心得，几乎找不到他计算不出来的几何问题。本题田老师在书中的解法也是计算得到的，别有一番风味，本文从略，有兴趣的读者可以去参考。

为什么说学习初中数学“成也模型”，“败亦模型”？

为什么说学习初中数学“成也模型”，“败亦模型”？

首先明确，我们这里所讲的，是广义的初中数学解题模型。分为两类：一类是人们在解题实践中，不断探索，研究，总结出来的“二级结论”或称之为“自有定理”。比如：等边三角形的面积公式、一线三等角的六种模型、歪八套、等角套、鸡爪图、十字架等等；另一类是从高中教材或其它复习资料中下放或照搬来的结论。例如三角形面积的正弦公式、两直线垂直斜率K的关系、两点间距离公式，射影定理、弦切角定理、费马点等等。无论上述哪种类型，有一点是共同的：这些称之为解题模型或二级结论的知识，初中教材中是收录、不讲的。而这些知识点又是在目前的中考考场上被所谓的学霸们当做提分利器频繁使用的。要想在规定的时间内准确、快速地找到解题思路，完成答题任务，拿到高分，这些知识的拓展几乎必不可少。

问题来了，有的老师在教学中，把这些模型当做“炫技”、吸引 *** 的资本，甚至于自己本身对这些所谓的模型的理解就是一知半解，只能简单粗放地直接把结论告诉 *** ，让 *** 去使用，导致 *** 囫囵吞枣，只知其然，不知其所以然，不分情况，也不管是不是符合答题要求、能否得分，直接使用这些结论去解题、去追求所谓的“秒杀”效果。最后的结果往往是拿到批阅后的 *** ，发现到处丢分，有“模”必失分，用“模”必丢分，最可悲的是失败后还找不到问题的症结所在，抱怨阅卷老师评分不公，判的有问题。可笑的是传授这些模型解题法的老师也竟然振振有词，把 *** 丢分失误的锅甩给阅卷老师。这样的教学，这样的“模型解题”，“模型秒题”不就是误人之弟的“败亦模型”吗？

要避免上述问题，首先要明确解题模型的作用是什么。之一，我们当然可以用它直接解答选择题和填空，判断题，直接得分；第二，对于有些模型体制内的题可以“未卜先知”，做题前就已经知道结论，从而用模型检验最后的结果；第三，也是最重要的，解题模型可以引领我们快速找到解题的思路和相关辅助线的构造 *** ，同时帮助我们提升和拓展思维、探究、创新能力。

基于上述认识，我们认为要想达到“成也模型”的学习效果，针对模型的学习首先要做到四记：记已知；记结论；记图谱；记求证思路。还要针对模型回答一个问题：怎么想到的？只有这样，才能在需要的时候可以随时写出这些模型的证明过程。这就要求我们的老师在传授这些模型的过程中一定要仔细研究：如何用初中的知识和符合初中生认知规律的 *** 给 *** 讲清楚。特别要明确地告诉 *** 在使用这些模型答题时如何规避丢分的风险，如何书写解题步骤、证明过程才能契合初中的解题要求。当然，“四记”不是“死记”，一定是在理解的基础上将相关知识转化为自已在解题过程中水到渠成的思维习惯。所以，搞清楚这些“模型”的来龙去脉是必要的，也是必需的。

切记：模型是死的，人是活的，题是活的。教学者在拼命研究、探索 *** 规律的同时，别忘了命题团队，命题老师也在研究教学者对教材的把控和研究水平，不断对考题推陈出新，使之真正成为教学的指挥棒。正是在解题，命题的一轮一轮“博弈”中，我们的教材、教学、命题水平、解题 *** 、才会不断进步。从这个意义上讲，解题模型的挖掘和发展，对教学 *** 也有一定的促进作用。

任何事情都是一分为二的，对于数学 *** 中众说纷纭的所谓解题模型更是如此，关键看我们怎么理解，怎么践行 *** 先生的“拿来主义”，结合自己的实际，把别人的智慧结晶，内化为自已的智力和能力。毕竟，提升能力才是我们一切学习活动的最终目的。

经常听有的老师说，模型禁锢了 *** 的思维，不可取，对教学有百害而无一利。在我看来，所谓的模型，不就是对科学的解题规律的归纳和总结吗？离开了归纳，总结，反思的学习还能叫学习吗？还会有效果和效率吗？其实想想看：当初的数学家们发现、发明一个个数学规律、定理的时候不就是在创造和构建模型吗？认识到位了，大胆去实践，去发现、去挖掘知识的内涵和本质，这不正是创新 *** 、探究 *** 习的要求吗？一个事物，叫什么不重要，重要的是它能干什么，能给使用它的人带来什么。

学习，更需要求真，务实，切忌跟风，人云亦云，没搞清楚“是什么？为什么？怎么用”之前不要妄下断论。笑看世界风云变幻，世事不但难料，而且也没有绝对的好坏，鞋子合不合脚只有脚知道。

最后，用一句话总结：只要做到“学懂、悟透，用活”，解题模型就会成为你 *** 数学难题的“ *** ”和“定海神针“。

深夜未眠，有感于白天一个网友的提问，一点浅见，记录于此，就算是答复，也供大家围观，吐槽，赐教。

鸡爪定理十四

1、已知：△ABC内接于圆O，D、E关于△ABC等角共轭，过D的OD的垂线交BC于K，过A的DK的平行线交圆O于F，Q在线段AD上且∠DQE=∠DKB。

求证：KF=KQ

分析：

设AE交圆于S，SF交CB于T，

只需证明QDKFT共圆,

DKFT共圆不难，Q在此圆上却不好证明。

延长MK交圆O于U，

则∠DKB=∠AUE,则AQEU共圆，

易得UKFT共圆；

∠DKU=∠AEU=∠AQU,

故UQDK共圆，从而QDKFTU共圆，证毕！

证明：

如图，设AE交圆O于S，SF交CB于T，

AD交圆O、BC于M、W，MK交圆O于U，

∠DKB=∠AUE且∠DKU=∠AEU,

则∠DQE=∠AUE，故AQEU共圆，

则∠DKU=∠AEU=∠AQU，故UQDK共圆；

由∠BAD=∠CAE知MS//BC,

则∠AWC=∠BAM+∠ABC

=∠SBC+∠ABC=∠ABS=∠AFT,

故AWFT共圆，

则∠STK=∠FAW=∠AFD=∠FDK=∠FUK，

故UDKFT共圆，则QDKFTU共圆,

则∠DQE=∠DKB=∠DQT，故QET共线，

则∠QTK=∠MDK=∠DAF=∠KTF,

则KF=KQ；

（3）本模型 *** 爪定理的更一般推广，此思路很有启发 *** 。几乎前面鸡爪定理的所有 *** 质都可以考虑往这方面推广。

2、已知：如图，I为△ABC内心，XB、YC为△ABC外接圆切线，且XB=AB,YC=CA,且X、Y位于BC同侧。

求证：∠YIX+∠BAC=180°(2017 *** 数学奥林匹克（第三轮）)

分析：由内心 *** 质得到AIBX共圆即得。

证明：

设ABC三个角为A、B、C，

由切线得∠ABX=∠C,

由BX=BA得∠BXA=90°-(∠C/2),

由I为内心得∠AIB=90°+(∠C/2),

则AIBX共圆，故∠AIX=∠ABX=∠C,

同理∠AIY=∠ACY=∠B,

故∠XIY=∠B+∠C=180°-∠A,

即原结论成立

注：

解决本题的突破口在发现四点共圆，如果发现不了这个共圆就要绕不少弯路。虽然本题严格上说没有用到鸡爪定理，但是由内心得到的四点共圆其实就是ABI外接圆。

3、已知：如图，△ABC中，AB>AC,MN为与BC垂直的直径,I为△ABC内心，以I为圆心，IM为半径的圆交MN、圆ABC于K、L,H为△BCI垂心。

求证：K,H,L共线。（20171230我们爱几何 作者:卢圣）

思路分析：

本题首先要确定H位置，感觉还是用IH=2MJ且IH//MJ就行。

难点在于目标如何实现，如何证明三点共线呢，不好入手，因为K、L也很难描述，K在MN上且IK=IM，显然∠HIK=∠IKM=∠IMK；

L呢？不太好描述，也可以考虑描述KL方向，即∠MKL,由ML为两圆公共弦则∠OIM=180°-∠LKM,故∠MOI=∠IKL,

这样就可以考虑用同一法证明共线即∠HKI=∠LKI,

即证明△IKH～△MOI,有角相等了，需证边成比例，即HI/MI=IK/MO,

即MI^2=2MJ*MO=MJ*MN,显然成立。

证明：

由垂心知IH=2MJ,且∠HIK=∠IKM=∠IMK,

由鸡爪定理得 MI^2=MJ*MN=2MJ*MO=IH*MO，

则△IKH～△MOI，故∠HKI=∠LKI；

由I为△MKL的外心得∠OIM=180°-∠LKM=∠IHK,

故∠LKI=∠MOI=∠IKL,

故KHL共线。

注：

本题图形不是很常见，必须要不停的充分利用已知条件挖掘图形的 *** 质，并随时认准目标，调整证明 *** 。其实还能得到KOILA五点共圆，不过这个结论本题可以不用。

4、已知：I为△ABC内心，P为△BIC外接圆上一点，AP交△ABC外接圆于D，PE//AB且E在BC上.

求证：PE/PD=AP/PC（20171113 我们爱几何试题 作者：万喜人）

思路分析：

从结果分析，证明结果很像两个三角形相似则对应边成比例，先按这个思路往下走。

一个是△DEP，我们构造AQ=AP，若Q在圆BIC上，则PQ关于AI多称且等角共轭。

需证△DEP～△CQA，应该倒角。

已有∠CAQ=∠BAP=∠EPD,还需

∠ACQ=∠PDE,即DE与CQ交点L在圆ABC上，由∠BCQ=∠ACP,

需证∠DEC=∠DPC,即DEPC共圆，

而由平行这是显然的。

证明：

作P关于AI对称点Q，设DE与CQ交于点L，

则Q在圆BIC上且AQ=AP，又I为BIC弧中点，则∠BCQ=∠ACP；

又∠EPD=∠BAD=∠BCD,故DEPC共圆，故∠DEC=∠DPC,

故∠DLC=∠DAC,即LDCA共圆；

则∠ACQ=∠PDE，

又∠CAQ=∠BAP=∠EPD,

故△DEP～△CQA，

故PE/PD=AQ/PC,

即PE/PD=AP/PC。

注：

虽然P、Q等角共轭，但是我们在证明中并没有指出；

我们在思考过程中可以有高的观点迅速找到思路，

但是在证明书写过程中应该尽量少的引入新概念。

鸡爪定理之九

1、如图，Q是△ABC外接圆上不含A的弧BC上动点，X、Y为△ABQ、△AQC内心，O为△QXY外心。

（1）求证：O在某个定圆上运动。

（2）以XY为直径的圆恒过定点，（2003年国家集训队资料第10题）

（3）XY中点在定圆上；（2003年国家集训队资料第10题）

思路分析：

显然本题与第三篇第4题有紧密的联系，由那题可得QXY过圆O’上定点T，进而由相交两圆 *** 质得到相似三角形即可解决第1问；联想到第二篇第1题即可解决第2问；利用鸡爪定理即可解决第3问。

证明：

（1）如图设M,N分别为△ABC的外接圆O’上弧 CA、AB 的中点．过点A 作AP//MN 交圆O’于 P点， I为△ABC的内心，连接PI并延长交圆O于T ．

由第三篇第4题的证明知QTYX共圆，

则2∠OO'T=∠QO'T=2∠QNT,

2∠QXT=∠QOT,

则∠NXT=∠O'OT,

故△NXT∽△O'OT，

结合鸡爪定理则O'O:NI=O'O:NX=O'T:NT,

即O'O=NI*O'T:NT为定值，

即O的轨迹为以O'为圆心，NI*O'T:NT为半径的圆。

（2）由第二篇第1题知XI⊥YI,

故以XY为直径的圆恒过定点I；

（3）由鸡爪定理得NI=NX,

又由（2）知KX=KI,故NK⊥XI,同理MK⊥YI,

故NK⊥KM,

故K在以MN为直径的圆上。

2、已知O是锐角△ABC的外心，作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AF于F。

求证：OD＋OE＋OF＝R＋r，其中R、r分别是△ABC外接圆、内切圆半径。（卡诺定理）

分析：

由垂足想到四点共圆，可以写出托勒密定理；要证明结果含有r，可以考虑尝试面积公式，最后由面积关系得到等式。

证明：

设△ABC的三边分别为2a、2b、2c。

由垂直得到三组四点共圆，

根据托勒密（P'tolemy）定理：

OE*c＋OF*b＝R*a，①

OF*a＋OD*c＝R*b，②

OD*b＋OE*a＝R*c，③

另一方面由面积关系得到

OD*a＋OE*b＋OF*c＝S<△ABC>＝r(a＋b＋c)，④

①＋②＋③＋④得

(OD＋OE＋OF)(a＋b＋c)＝(R＋r)(a＋b＋c)，

约去(a＋b＋c)即得结论。

3、四边形ABCD内接于圆，△BCD,△ACD,△ABD,△ABC内接圆半径分别为a,b,c,d。

证明a+ c = b+ d。<3>

思路一：

看到本题想到第二篇第1题，从而得到此四个内心构成长方形，然后想到矩形任意一点到矩形的对顶点距离平方和相等以及含有内心外心距离的欧拉公式——第二篇第2题即可解决本题。

证明一：

设圆O半径为R，

由第二篇第1题得到此四个内心A'B'C'D'构成矩形，

过O作矩形两临边垂线FH,IG，由勾股定理得

A'O^2+C'O^2=IO^2+FO^2+GO^2+HO^2=B'O^2+D'O^2;

由第二篇第2题得到A'O^2=R^2-2Ra，类似得到其余，带入上式即得R^2-2Ra+R^2-2Rc=R^2-2Rb+R^2-2Rd,

即a+ c = b+ d。

思路二：

同思路一得到四个内心构成矩形，将结果改成差的形式，用三角函数分别计算出来两个差，结合共圆即可得到结果。

证明二：

设ABCD四个角分别为2A,2B,2C,2D,

则A+C=B+D=90°；

由第二篇第1题知A'B'C'D'为矩形，

且A'B'DC共圆，

作A'F⊥CD,B'G⊥CD,A'H⊥B'G,

则∠A'B'H=180°-C-(90°-D)=90°+D-C;

同理∠D'C'I=180°-B-(90°-A)=90°+A-B

=90°+D-C=∠A'B'H,

故b-a=B'H=A'B'sin∠A'B'H

=D'C'sin∠D'C'I=c-d,

即a+ c = b+ d。

思路三：

由内接圆与外接圆半径想到第2题，再用推广后的有向距离消掉O到对角线的距离即得。

证明三：

设圆O半径为R，

由第2题推广后的卡诺公式，对△ABC，△ACD，

得到R+b=OH+OI+OK,

R+d=OG+OF-OK,

上述两式相加得到

2R+b+d=OG+OF+OH+OI;

对另外两个三角形同理得到

2R+a+c=OG+OF+OH+OI,

即a+ c = b+ d。

4、已知：如图，△ABC外接圆为圆O，角A的平分线交BC、圆O于D、P，过D作AB垂线交AB、圆O于E、Q，QC交AF于G。

求证：EG//FC(2012年中国 *** 数学奥林匹克选拔 *** )

证明思路分析：

初看证明欲结果平行，路有点多，不好选择，更好先探究图形基本特征。

由鸡爪定理基本构型，知ADFQ共圆，从而EG//FC<=>∠DEG=∠EDF=∠QAG

<=>AGEQ共圆

<=>∠AGQ=90°(因为∠AEQ=90°)

<=>∠AKQ=∠ALQ(因为由共圆得∠DAF=∠DQF)

<=>∠APQ+∠PQC=∠APQ+∠PAB

<=>∠PQC=∠PAB

<=>PA为∠CAB平分线，

显然成立，故结果成立。

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